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曲线和方程(2)

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来源: 2004-1-15 7:26:53

教学用具:计算机.
教学方法:启发引导法,讨论法.
教学过程:
【引入】
1.提问:什么是曲线的方程和方程的曲线.
学生思考并回答.教师强调.
2.坐标法和解析几何的意义、基本问题.
对于一个几何问题,在建立坐标系的基础上,用坐标表示点;用方程表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质,这一研究几何问题的方法称为坐标法,这门科学称为解析几何.解析几何的两大基本问题就是:
(1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程.
(2)通过方程,研究平面曲线的性质.
事实上,在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题.而且要先研究如何求出曲线方程,再研究如何用方程研究曲线.本节课就初步研究曲线方程的求法.
【问题】
如何根据已知条件,求出曲线的方程.
【实例分析】
例1:设 、 两点的坐标是 、(3,7),求线段 的垂直平分线 的方程.
首先由学生分析:根据直线方程的知识,运用点斜式即可解决.
解法一:易求线段 的中点坐标为(1,3),
由斜率关系可求得l的斜率为
于是有
即l的方程为
   ①
分析、引导:上述问题是我们早就学过的,用点斜式就可解决.可是,你们是否想过①恰好就是所求的吗?或者说①就是直线 的方程?根据是什么,有证明吗?
(通过教师引导,是学生意识到这是以前没有解决的问题,应该证明,证明的依据就是定义中的两条).
证明:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
设 是线段 的垂直平分线上任意一点,则
  即
将上式两边平方,整理得
这说明点 的坐标 是方程 的解.
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
设点 的坐标 是方程①的任意一解,则
  到 、 的距离分别为
所以 ,即点 在直线 上.
综合(1)、(2),①是所求直线的方程.
  至此,证明完毕.回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象:在证明(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解中,设 是线段 的垂直平分线上任意一点,最后得到式子 ,如果去掉脚标,这不就是所求方程 吗?可见,这个证明过程就表明一种求解过程,下面试试看:
解法二:设 是线段 的垂直平分线上任意一点,也就是点 属于集合
由两点间的距离公式,点所适合的条件可表示为
将上式两边平方,整理得
果然成功,当然也不要忘了证明,即验证两条是否都满足.显然,求解过程就说明第一条是正确的(从这一点看,解法二也比解法一优越一些);至于第二条上边已证.
这样我们就有两种求解方程的方法,而且解法二不借助直线方程的理论,又非常自然,还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想.因此是个好方法.
让我们用这个方法试解如下问题:
例2:点 与两条互相垂直的直线的距离的积是常数 求点 的轨迹方程.
分析:这是一个纯粹的几何问题,连坐标系都没有.所以首先要建立坐标系,显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴,建立直角坐标系.然后仿照例1中的解法进行求解.
求解过程略.
【概括总结】通过学生讨论,师生共同总结:
分析上面两个例题的求解过程,我们总结一下求解曲线方程的大体步骤:
首先应有坐标系;其次设曲线上任意一点;然后写出表示曲线的点集;再代入坐标;最后整理出方程,并证明或修正.说得更准确一点就是: