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排列、组合、二项式定理-基本原理(2)

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来源: 2004-4-24 7:26:53
2个班次,轮船有3个班次.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地,共有多少种不同的走法?
因为一天中乘火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种走法,每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情.所以,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法.
这个问题可以总结为下面的一个基本原理(打出片子——加法原理):
加法原理:做一件事,完成它可以有几类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法.那么,完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
请大家再来考虑下面的问题(打出片子——问题2):
问题2:由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条(见下图),从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法?
这里,从A村到B村,有3种不同的走法,按这3种走法中的每一种走法到达B村后,再从B村到C村又各有2种不同的走法,因此,从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的走法.
一般地,有如下基本原理(找出片子——乘法原理):
乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法.那么,完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
2.浅释两个基本原理
两个基本原理的用途是计算做一件事完成它的所有不同的方法种数.
比较两个基本原理,想一想,它们有什么区别?
两个基本原理的区别在于:一个与分类有关,一个与分步有关.
看下面的分析是否正确(打出片子——题1,题2):
题1:找1~10这10个数中的所有合数.第一类办法是找含因数2的合数,共有4个;第二类办法是找含因数3的合数,共有2个;第三类办法是找含因数5的合数,共有1个.
1~10中一共有N=4+2+1=7个合数.
题2:在前面的问题2中,步行从A村到B村的北路需要8时,中路需要4时,南路需要6时,B村到C村的北路需要5时,南路需要3时,要求步行从A村到C村的总时数不超过12时,共有多少种不同的走法?
第一步从A村到B村有3种走法,第二步从B村到C村有2种走法,共有N=3×2=6种不同走法.
题2中的合数是4,6,8,9,10这五个,其中6既含有因数2,也含有因数3;10既含有因数2,也含有因数5.题中的分析是错误的.
从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种.题2中从A村走北路到B村后再到C村,只有南路这一种走法.
(此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项,这样安排,不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻,而且还可以培养学生的学习能力)
进行分类时,要求各类办法彼此之间是相互排斥的,不论哪一类办法中的哪一种方法,都能单独完成这件事.只有满足这个条件,才能直接用加法原理,否则不可以.
如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,而各步要求相互独立,即相对于前一步的每一种方法,下一步都有m种不同的方法,那么计算完成这件事的方法数时,就可以直接应用乘法原理.
也就是说:类类互斥,步步独立.
(在学生对问题的分析不是很清楚时,教师及时地归纳小结,能使学生在应用两个基本原理时,思路进一步清晰和明确,不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法,只要分步而不管是否相互联系就用乘法.从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质)
(三)应用举例
现在我们已经有了两个基本原理,我们可以用它们来解决一些简单问题了.
例1 书架上放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6本不同的英语书.
(1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法?