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直线的方程(2)

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来源: 2004-1-7 0:49:39

(8)本节不少内容可安排学生自学和讨论,还要适当增加练习,使学生能更好地掌握,而不是仅停留在观念上.
教学设计示例
直线方程的一般形式
教学目标:
(1)掌握直线方程的一般形式,掌握直线方程几种形式之间的互化.
(2)理解直线与二元一次方程的关系及其证明
(3)培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点.
教学重点、难点:直线方程的一般式.直线与二元一次方程 ( 、 不同时为0)的对应关系及其证明.
教学用具:计算机
教学方法:启发引导法,讨论法
教学过程:
下面给出教学实施过程设计的简要思路:
教学设计思路:
(一)引入的设计
前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法,看下面问题:
问:说出过点 (2,1),斜率为2的直线的方程,并观察方程属于哪一类,为什么?
答:直线方程是 ,属于二元一次方程,因为未知数有两个,它们的最高次数为一次.
肯定学生回答,并纠正学生中不规范的表述.再看一个问题:
问:求出过点 , 的直线的方程,并观察方程属于哪一类,为什么?
答:直线方程是 (或其它形式),也属于二元一次方程,因为未知数有两个,它们的最高次数为一次.
肯定学生回答后强调“也是二元一次方程,都是因为未知数有两个,它们的最高次数为一次”.
启发:你在想什么(或你想到了什么)?谁来谈谈?各小组可以讨论讨论.
学生纷纷谈出自己的想法,教师边评价边启发引导,使学生的认识统一到如下问题:
【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗?”
(二)本节主体内容教学的设计
这是本节课要解决的第一个问题,如何解决?自己先研究研究,也可以小组研究,确定解决问题的思路.
学生或独立研究,或合作研究,教师巡视指导.
经过一定时间的研究,教师组织开展集体讨论.首先让学生陈述解决思路或解决方案:
思路一:…
思路二:…
……
教师组织评价,确定最优方案(其它待课下研究)如下:
按斜率是否存在,任意直线 的位置有两种可能,即斜率 存在或不存在.
当 存在时,直线 的截距 也一定存在,直线 的方程可表示为 ,它是二元一次方程.
当 不存在时,直线 的方程可表示为 形式的方程,它是二元一次方程吗?
学生有的认为是有的认为不是,此时教师引导学生,逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性:
平面直角坐标系中直线 上点的坐标形式,与其它直线上点的坐标形式没有任何区别,根据直线方程的概念,方程 解的形式也是二元方程的解的形式,因此把它看成形如 的二元一次方程是合理的.
综合两种情况,我们得出如下结论:
在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一条表示这条直线的关于 、 的二元一次方程.
至此,我们的问题1就解决了.简单点说就是:直线方程都是二元一次方程.而且这个方程一定可以表示成 或 的形式,准确地说应该是“要么形如 这样,要么形如 这样的方程”.
同学们注意:这样表达起来是不是很啰嗦,能不能有一个更好的表达?
学生们不难得出:二者可以概括为统一的形式.
这样上边的结论可以表述如下:
在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一条表示这条直线的形如 (其中 、 不同时为0)的二元一次方程.
启发:任何一条直线都有这种形式的方程.你是否觉得还有什么与之相关的问题呢?
【问题2】任何形如 (其中 、 不同时为0)的二元一次方程都表示一条直线吗?
不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面,这个问题是它的另一方面.这是显然的吗?不是,因此也需要像刚才一样认真地研究,得到明确的结论.那么如何研究呢?
师生共同讨论,评价不同思路,达成共识: