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算术平均数与几何平均数(二)(4)

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来源: 2004-1-12 21:31:02
297600元.
设计意图:加深理解应用平均值定理求最值的方法,学会应用平均值定理解决某些函数最值问题和实际问题,并掌握分析变量的构建思想.培养学生用数学知识解决实际问题的能力,化归的数学思想.
【课堂练习】
(教师活动)打出字幕(练习),要求学生独立思考,完成练习;请三位同学板演;巡视学生解题情况,对正确的给予肯定,对偏差进行纠正;讲评练习.
(学生活动)在笔记本且完成练习、板演.
[字幕〕练习
  A组
  1.求函数 ( )的最大值.
  2求函数 ( )的最值.
  3.求函数 ( )的最大值.
  B组
  1.设 ,且 ,求 的最大值.
  2.求函数 的最值,下面解法是否正确?为什么?
解: ,因为 ,则 .所以
[讲评] A组 1. ; 2. ; 3.
B组 1. ; 2.不正确 ①当 时, ;②当 时, ,而函数在整个定义域内没有最值.
设计意图;A组题训练学生掌握应用平均值定理求最值.B组题训练学生掌握平均值定理的综合应用,并对一些易出现错误的地方引起注意.同时反馈课堂教学效果,调节课堂教学.
【分析归纳、小结解法】
(教师活动)分析归纳例题和练习的解题过程,小结应用平均值定理解决有关函数最值问题和实际问题的解题方法.
(学生活动)与教师一道分析归纳,小结解题方法,并记录笔记.
1.应用平均值定理可以解决积为定值或和为定值条件下,两个正变量的和或积的最值问题.
2.应用定理时注意以下几个条件:(ⅰ)两个变量必须是正变量.(ⅱ)当它们的和为定值时,其积取得最大值;当它们的积是定值时,其和取得最小值.(iii)当且仅当两个数相等时取最值,即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件,才能求得最值.
3.在求某些函数的最值时,会恰当的恒等变形——分析变量、配置系数.
4.应用平均值定理解决实际问题时,应注意:(l)先理解题意,没变量,把要求最值的变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题,确定函数的定义域.(3)在定义域内,求出函数的最值,正确写出答案.
设计意图:培养学生分析归纳问题的能力,帮助学生形成知识体系,全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法.
(三)小结
(教师活动)教师小结本节课所学的知识要点.
(学生活动)与教师一道小结,并记录笔记.
这节课学习了利用平均值定理求某些函数的最值问题.现在我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值方法.这是平均值定理的一个重要应用,也是本节的重点内容,同学们要牢固掌握.
应用定理时要注意定理的适用条件,即“正数、定值、相等”三个条件同时成立,且会灵活转化问题,达到化归的目的.
设计意图:培养学生对所学知识进行概括归纳的能力,巩固所学知识.
(四)布置作业
1.课本作业:P ,6,7.
2.思考题:设 ,求函数 的最值.
3.研究性题:某种汽车购车时费用为10万元,每年保险、养路、汽车费用9千元;汽车的维修费各年为:第一年2千元,第二年4千元,依每年2千元的增量逐年递增.问这种汽车最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的平均费用最少)?
设计意图:课本作业供学生巩固基础知识;思考题供学有余力的学生练习,使学生能灵活运用定理解决某些数学问题;研究性题培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.
(五)课后点评
1.关于新课引入设计的想法:
导入这一环节是调动学生学习的积极性,激发学生探究精神的重要环节,本节课开始给出一个引例,通过探究解决此问题的各种解法,产生用平均值定理求最值,点明课题.事实上,在解决引例问题的过程中也恰恰突出了教学重点.