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不等式的证明(一)(3)

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来源: 2004-1-21 20:41:22

[点评]
①通过确定差的符号,证明不等式的成立.这一方法,在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过.
②通过求差将不等问题转化为恒等问题,将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较,使问题简化.
③理论依据是:
  ④由 , ,知:要证明 只要证 ;要证明 这种证明不等式的方法通常叫做比较法.
设计意图:帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系,培养学生化归的数学思想.
【例题示范,学会应用】
(教师活动)教师板书例题,引导学生研究问题,构思证题方法,学会解题过程中的一些常用技巧,并点评.
例1 求证
(学生活动)学生在教师引导下,研究问题.与教师一道完成问题的论证.
[分析]由比较法证题的方法,先将不等式两边作差,得 ,将此式看作关于 的二次函数,由配方法易知函数的最小值大干零,从而使问题获证.
证明:∵

= ,
∴ .
  [点评]
①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形,确定差的符号.
②作差后,式于符号不易确定,配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式,使差式的符号易于确定.
③不等式两边的差的符号是正是负,一般需要利用不等式的性质经过变形后,才能判断.
变形的目的全在于判断差的符号,而不必考虑差的值是多少.至于怎样变形,要灵活处理,例1介绍了变形的一种常用方法——配方法.
例2 已知都是正数,并且 ,求证:
[分析]这是分式不等式的证明题,依比较法证题将其作差,确定差的符号,应通分,由分子、分母的值的符号推出差值的符合,从而得证.
证明:

= .
因为 都是正数,且 ,所以

∴ .
即:
[点评]
①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形,由分子、分母的值的符号推出差的符号.
②本例题介绍了对差变形,确定差值的符号的一种常用方法——通分法.
③例2的结论反映了分式的一个性质(若都是正数.
1.当 时,
2.当 时, .以后要记住.
设计意图:巩固用比较法证明不等式的知识,学会在用比较法证明不等式中,对差式变形的常用方法——配方法、通分法.
【课堂练习】
(教师活动)打出字幕(练习),要求学生独立思考.完成练习;请甲、乙两学生板演;巡视学生的解题情况,对正确的证法给予肯定和鼓励,对偏差点拨和纠正;点评练习中存在的问题.
[字幕]
练习:1.求证
2.已知 , , ,d都是正数,且 ,求证
(学生活动)在笔记本上完成练习,甲、乙两位同学板演.
设计意图,掌握用比较法证明不等式,并会灵活运用配方法和通分法变形差式,确定差式符号.反馈课堂教学效果,调节课堂教学.
【分析归纳、小结解法】
(教学活动)分析归纳例题和练习的解题过程,小结用比较法证明不等式的解题方法.
(学生活动)与教师一道分析归纳,小结解题方法,并记录笔记.
比较法是证明不等式的一种最基本、重要的方法.用比较法证明不等式的步骤是:作差、变形、判断符号.要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形.
设计意图:培养学生分析归纳问题的能力,掌握用比较法证明不等式的方法.