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算术平均数与几何平均数(二)(3)

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来源: 2004-1-12 13:14:28

作业答案
思考题 证明:因为 ,所以
.又因为 , , ,所以 , ,所以
研究性题 ① .由条件得 ,…(A) 利用公式 …(B). 得 ,即 . ② .由(A)、(B)之和即得.③ .可利用 .再利用①,即可得. ④ .利用立方和公式得到: .利用①可得 .利用①②可得 .还有 ……
第二课时
(-)导入新课
(教师活动)1.教师打出字幕(引例); 2.设置问题,引导学生思考,启发学生应用平均值定理解决有关实际问题.
(学生活动)思考、回答教师设置的问题,构建应用平均值定理解决实际问题的思路.
[字幕]引例.如图,用篱笆围一块面积为50 的一边靠墙的矩形篱笆墙,问篱笆墙三边分别长多少时,所用篱笆最省?此时,篱笆墙长为多少米?
[设问]
①这是一个实际问题,如何把它转化成为一个数学问题?
  (学生口答:设篱笆墙长为y,则 ( ).问
题转化成为求函数y的最小值及取得最值时的 的值.)
②求这个函数的最小值可用哪些方法?能否用平均值定理求此函数的最小值?
(学生口答:利用函数的单调性或判别式法,也可用平均值定理.)
设计意图:从学生熟悉的实际问题出发,激发学生应用数学知识解决问题的兴趣,通过设问,引导和启发学生用所学的平均值定理解决有关实际问题,引入课题.
(二)新课讲授
【尝试探索、建立新知】
(教师活动)教师打出字幕(课本例题1),引导学生研究和解决问题,帮助学生建立用平均值定理求函数最值的知识体系.
(学生活动)尝试完成问题的论证,构建应用平均值定理求函数最值的方法.
[字幕]已知 都是正数,求证:
(1)如果积 是定值P,那么当 时,和 有最小值 ;
(2)如果和 是定值S,那么当 时,积 有最大值
证明:运用 ,证明(略).
[点评]
①(l)的结论即 ,(2)的结论即
②上述结论给出了一类函数求最值的方法,即平均值定理求最值法.
③应用平均值定理求最值要特别注意:两个变元都为正值;两个变元之积(或和)为定值;当且仅当 ,这三个条件缺一不可,即“一正,二定,三相等”同时成立.
设计意图:引导学生分析和研究问题,建立新知——应用平均值定理求最值的方法.
【例题示范,学会应用】
(教师活动)打出字幕(例题),引导学生分析问题,研究问题的解法.
(学生活动)分析、思考,尝试解答问题.
[字幕]例题1 求函数 ( )的最小值,并求相应的 的值.
[分析]因为这个函数中的两项不都是正数且 又 与的积也不是常数,所以不能直接用定理求解.但把函数变形为 后,正数 , 的积是常数1,可以用定理求得这个函数的最小值.
解: ,由 ,知 , ,且 .当且仅当 ,即 时, ( )有最小值,最小值是 。
[点评] 要正确理解 的意义,即方程 要有解,且解在定义域内.
[字幕] 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800 ,深为 3 m,如果池底每l 的造价为 150元,池壁每1 的造价为 120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?
[分析] 设水池底面一边的长为 m,水池的总造价为y,建立y关干 的函数.然后用定理求函数y的最小值.
解:设水池底面一边的长度为 m,则另一边的长度为 m,又设水池总造价为y元,根据题意,得
( )
所以
当 ,即 时,y有最小值297600.因此,当水池的底面是边长为40 m的正方形时.水池的总造价最低,最低总造价是