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不等式的性质(二)(2)

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来源: 2004-1-8 18:12:24
5.
教学重点:定理4,5的证明.
教学难点:定理4的应用.
教学方法:引导式
教学过程:
一、复习回顾
上一节课,我们一起学习了不等式的三个性质,即定理1,2,3,并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法,首先,让我们来回顾一下三个定理的基本内容.
(学生回答)
好,我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论,并进一步熟悉不等式性质的应用.
二、讲授新课
定理4:若

证明:
根据同号相乘得正,异号相乘得负,得

说明:(1)证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正,异号相乘得负”来完成的;
(2)定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数,不等号方向不变;乘以同一个负数,不等号方向改变.
推论1:若
证明:


∴   ②
由①、②可得 .
说明:(1)上述证明是两次运用定理4,再用定理2证出的;
(2)所有的字母都表示正数,如果仅有 ,就推不出 的结论.
(3)这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说,两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.
推论2:若
说明:(1)推论2是推论1的特殊情形;
(2)应强调学生注意n∈N 的条件.
定理5:若
我们用反证法来证明定理5,因为反面有两种情形,即 ,所以不能仅仅否定了 ,就“归谬”了事,而必须进行“穷举”.
说明:假定 不大于 ,这有两种情况:或者 ,或者 .
由推论2和定理1,当 时,有 ;
当 时,显然有
这些都同已知条件 矛盾
所以 .
接下来,我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.
例2  已知
证明:由
例3 已知
证明:∵
两边同乘以正数
说明:通过例3,例4的学习,使学生初步接触不等式的证明,为以后学习不等式的证明打下基础.在应用定理4时,应注意题目条件,即在一个等式两端乘以同一个数时,其正负将影响结论.接下来,我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.
三、课堂练习
课本P7练习1,2,3.
课堂小结
通过本节学习,大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路,为以后不等式的证明打下一定的基础.
课后作业
课本习题6.1 4,5.
板书设计
§6.1.3 不等式的性质
定理4  推论1 定理5  例3 学生
内容 内容
证明  推论2 证明  例4 练习