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曲线和方程(3)

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来源: 2004-1-15 15:43:26

(1)建立适当的坐标系,用有序实数对例如 表示曲线上任意一点 的坐标;
(2)写出适合条件 的点 的集合

(3)用坐标表示条件 ,列出方程 ;
(4)化方程 为最简形式;
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
一般情况下,求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解;如果求解过程中的转化都是等价的,那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.所以,通常情况下证明可省略,不过特殊情况要说明.
上述五个步骤可简记为:建系设点;写出集合;列方程;化简;修正.
下面再看一个问题:
例3:已知一条曲线在 轴的上方,它上面的每一点到 点的距离减去它到 轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程.
【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状,在运动变化的过程中寻找关系.
解:设点 是曲线上任意一点, 轴,垂足是 (如图2),那么点 属于集合
由距离公式,点 适合的条件可表示为
  ①
将①式 移项后再两边平方,得
化简得
由题意,曲线在 轴的上方,所以 ,虽然原点 的坐标(0,0)是这个方程的解,但不属于已知曲线,所以曲线的方程应为 ,它是关于 轴对称的抛物线,但不包括抛物线的顶点,如图2中所示.
【练习巩固】
题目:在正三角形 内有一动点 ,已知 到三个顶点的距离分别为 、 、 ,且有 ,求点 轨迹方程.
分析、略解:首先应建立坐标系,以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴,这条边的垂直平分线为另一个轴,建立直角坐标系比较简单,如图3所示.设 、 的坐标为 、 ,则 的坐标为 , 的坐标为 .
根据条件 ,代入坐标可得
化简得

由于题目中要求点 在三角形内,所以 ,在结合①式可进一步求出 、 的范围,最后曲线方程可表示为
【小结】师生共同总结:
(1)解析几何研究研究问题的方法是什么?
(2)如何求曲线的方程?
(3)请对求解曲线方程的五个步骤进行评价.各步骤的作用,哪步重要,哪步应注意什么?
【作业】课本第72页练习1,2,3;
【板书设计】
§7.6 求曲线的方程