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两条直线的位置关系(3)

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来源: 2004-1-9 19:02:04

问:这种解法好不好,为什么?
根据学生讨论,教师适时启发、引导,得出
分析2:如果 垂直坐标轴,则交点和距离都容易求出,那么不妨做出与坐标轴垂直的线段 和 ,如图1所示,显然相对而言 ,和 好求一些,事实上,设 到直线的距离为 , 坐标为 , 坐标为 ,则易求:

所以: ,
所以:
根据三角形面积公式:
所以: (至此问题2已经解决)
公式 的完善.
容易验证(由学生完成):
当 ,即 轴时,公式成立;
当 ,即 轴时,公式成立;
当 点在 上时,公式成立.
公式 结构特点
师生一起总结:
(1)分子是 点坐标代入直线方程;
(2)分母是直线未知数 、 系数平方和的算术根.
类似于勾股定理求斜边的长
三、检测与巩固
练习1
(1) 到直线 的距离是________.
(2) 到直线 的距离是_______.
(3)用公式解 到直线 的距离是______.
(4) 到直线 的距离是_________.
订正答案:(1)5;(2)0;(3) ;(4) .
练习2
1.求平行直线 和 的距离.
解:在直线 上任取一点,如 ,则两平行线的距离就是点 到直线 的距离.
因此, = =
【问题3】
两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢?求两条平行直线 与 0的距离.
解:在直线上 任取一点,如
则两平行线的距离就是点 到直线 的距离,(如图2).
因此, = =
注意:用公式时,注意一次项系数是否一致.
四、小结作业
1、点到直线的距离公式及其推导;
师生一起总结点到直线距离公式的推导过程:
2、利用公式求点到直线的距离
3、探索两平行直线的距离
4、探索“已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线距离.
作业:P54 13、14、16思考研究:运用多种方法推导点到直线的距离公式.
探究活动
研究性学习
点到直线距离公式是本节的重点和难点之一,公式的推导历来是探索的重点.教材上的第二种方法较传统已有不少改进,但运用向量的理论研究两条直线的位置关系的新思想在这一问题上没有体现,而运用向量理论推导点到直线的距离公式又是可行的,因此尝试用向量推导距离公式是很有意义的.为此设计如下研究性题目:
试用向量的理论推导(或证明)点到直线的距离公式.
简要思路:
首先规定直线的法向量.设直线 的方程为 , 是 上任意一点,则 的方程可表示为 的形式.由向量内积的概念可知向量 是与直线的方向向量 垂直的向量,我们把 称为直线 的法向量.
其次推导点到直线的距离公式.设 是直线 : 外的一点, 是 上的任一点, 垂直 于 .则所求为 .如图5,不妨l的法向量到 的角为 ,则不论 为锐角还是钝角,总有 ,因为:
所以:
=