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集合

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来源: 2004-8-18 12:24:49

一、知识结构
本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手,引出集合与集合的元素的概念,并且结合实例对集合的概念作了说明.然后,介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法,还给出了画图表示集合的例子.
二、重点难点分析
这一节的重点是集合的基本概念和表示方法,难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合.这一节的特点是概念多、符号多,正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键.为此,在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目,以帮助学生提高判断能力,加深理解集合的概念和表示方法.
1.关于牵头图和引言分析
章头图是一组跳伞队员编成的图案,引言给出了一个实际问题,其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际间题,必须用到集合和逻辑的知识,也就是把它数学化.一方面提高用数学的意识,一方面说明集合和简易逻辑知识是高中数学重要的基础.
2.关于集合的概念分析
点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念,集合则是集合论中原始的、不加定义的概念.
初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”;初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等.在开始接触集合的概念时,主要还是通过实例,对概念有一个初步认识.教科书给出的“一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集.”这句话,只是对集合概念的描述性说明.
我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念,从而阐明集合概念如同其他数学概念一样,不是人们凭空想象出来的,而是来自现实世界.
3.关于自然数集的分析
教科书中给出的常用数集的记法,是新的国家标准,与原教科书不尽相同,应该注意.
新的国家标准定义自然数集N含元素0,这样做一方面是为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准,以便早日与之接轨,另一方面,0还是十进位数{0,1,2,…,9}中最小的数,有了0,减法运算 仍属于自然数,其中 .因此要注意几下几点:
  (1)自然数集合与非负整数集合是相同的集合,也就是说自然数集包含0;
  (2)自然数集内排除0的集,表示成 或 ,其他数集{如整数集Z、有理数集Q、实数集R}内排除0的集,也可类似表示 , , ;
  (3)原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如 , , …不再适用.
  4.关于集合中的元素的三个特性分析
集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如“中国的直辖市”这一集合的元素是:北京、上海、天津、重庆。
集合中的元素常用小写的拉丁字母 ,…表示.如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作 ;否则,就说a不属于A,记作
  要正确认识集合中元素的特性:
  (l)确定性: 和 ,二者必居其一.
  集合中的元素必须是确定的.这就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.例如,给出集合{地球上的四大洋},它的元素是:太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.其他对象都不用于这个集合.如果说“由接近 的数组成的集合”,这里“接近 的数”是没有严格标准、比较模糊的概念,它不能构成集合.
  (2)互异性:若 , ,则
集合中的元素是互异的.这就是说,集合中的元素是不能重复的,集合中相同的元素只能算是一个.例如方程 有两个重根 ,其解集只能记为{1},而不能记为{1,1}.
  (3)无序性:{a,b}和{b,a}表示同一个集合.
  集合中的元素是不分顺序的.集合和点的坐标是不同的概念,在平面直角坐标系中,点(