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矩形(2)

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来源: 2002-6-15

学生能探索得出“矩形的邻边互相垂直”的特性,教师可作说明:这与矩形的四个角是直角本质上是一致的,所以不必另列为一个性质。
学生探索矩形的四条对角线的大小关系时,如有困难,可引导学生测量并比较矩形两条对角线的长度,然后加以证明,得出性质定理2。
问题3:矩形的一条对角线把矩形分成两个直角三角形,矩形的对角线既互相平分又相等,由此,我们可以得到直角三角形的什么重要性质?
说明与建议:(1)让学生先观察图4.5-3,并议论猜想,如学生有困难,教师可引导学生观察图中的一个直角三角形(如Rt△ABC),让学生自己发现斜边上的中线BO与斜线AC的大小关系,然后让学生自己给出如下证明:
证明:在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=BD(矩形的对角线相等)。
,AO=CO
∴在Rt△ABC中,BO是斜边AC上的中线,且 。
∴直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例题解析
例1:(即课本例1)
说明:本题难度不大,又有助于学生加深对性质定理的理解,教学中应引导学生探索解法:
如图4.5-4,欲求对角线BD的长,由于∠BAD=90°,AB=4cm,则只要再找出Rt△ABD中一条直角边的长,或一个锐角的度数,再从已知条件∠AOD=120°出发,应用矩形的性质可知,∠ADB=30°,另外,还可以引导学生探究△AOB是什么特殊的三角形(等边三角形),课本用了第一种解法,并给出了解几何计算题书写格式的示范;第二种解法如下:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD(矩形的对角线相等)。
又 。
∴OA=BO,△AOB是等腰三角形,
∵∠AOD=120°,∴∠AOB=180°- 120°= 60°
∴∠AOB是等边三角形。
∴ BO=AB=4cm,
∴ BD=2BO=24×4cm=8cm。
例2:(补充例题)
已知:如图4.5-5四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°, E是AC的中点,EF平分∠BED交BD于点F。
(l)猜想:EF与BD具有怎样的关系?
(2)试证明你的猜想。
解:(l)EF垂直平分BD。
(2)证明:∵∠ABC=90°,点E是AC的中点。
∴ (直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半)。
同理: 。
∴BE=DE。
又∵EF平分∠BED。
∴EF⊥BD,BF=DF。
说明:本例是一道不给出“结论”,需要学生自己观察---猜想---讨论的几何命题,有助于发展学生的推理(包括合情推理和逻辑推理)能力。如果学生不适应,或有困难,教师可根据实际情况加以引导,这种训练,重要的不是猜对了没有?证明了没有?而是让学生经历这样一种自己研究图形性质的过程,顺便指出:求解本题的重要基础是识图技能----能从复杂图形中分解出如图4.5-6所示的三个基本图形。
课堂练习
1.课本例1后练习题第2题。
2.课本例1后练习题第4题。
小结
1.矩形的定义:
2.归纳总结矩形的性质:
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线平行且相等
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4.矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形;矩形的两条对角线把矩形分成四个全等的等腰三角形。因此,有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决。
作业
l.课本习题4.3A组第2题。
2.课本复习题四A组第6、7题。